Основная идея доказательства единственности разложения вектора по базису заключается в том, что координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. 1

Для этого предполагают, что вектор имеет в этом базисе два разложения. 2 Затем вычитают записанные равенства почленно. 2 Так как базис — это линейно независимая система векторов, её линейная комбинация равна 0, лишь если она тривиальная. 2 Значит, все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. 2 Таким образом, два разложения вектора в базисе совпадают. 2

Это и доказывает единственность разложения вектора по базису. 1

Также условие линейной независимости векторов базиса означает, что нулевой вектор имеет в этом базисе единственное разложение: все коэффициенты этого разложения равны нулю. 2 Из единственности разложения нулевого вектора по данной системе векторов вытекает единственность разложения любого другого вектора. 2