В чем заключается основная идея доказательства единственности разложения вектора по базису?

Основная идея доказательства единственности разложения вектора по базису заключается в том, что координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. math-it.petrsu.ru

Для этого предполагают, что вектор имеет в этом базисе два разложения. angem.ru Затем вычитают записанные равенства почленно. angem.ru Так как базис — это линейно независимая система векторов, её линейная комбинация равна 0, лишь если она тривиальная. angem.ru Значит, все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. angem.ru Таким образом, два разложения вектора в базисе совпадают. angem.ru

Это и доказывает единственность разложения вектора по базису. math-it.petrsu.ru

Также условие линейной независимости векторов базиса означает, что нулевой вектор имеет в этом базисе единственное разложение: все коэффициенты этого разложения равны нулю. angem.ru Из единственности разложения нулевого вектора по данной системе векторов вытекает единственность разложения любого другого вектора. angem.ru