Один из методов построения базиса прямой суммы подпространств, если даны базисы подпространств M1 и M2, заключается в следующем: 1

1. Записать в матрицу по строкам координаты векторов, входящих в эти базисы, в некотором фиксированном базисе пространства. 1
2. Привести эту матрицу к ступенчатому виду. 1
3. Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом суммы подпространств M1 и M2, а число этих строк равно её размерности. 1

Также есть другой способ построения базиса прямой суммы подпространств: 2

1. Выбрать базис (a1, …, ak) в подпространстве U1 ∩ U2, если это подпространство ненулевое. 2 В противном случае считать, что k = 0. 2
2. Дополнить этот базис до базиса U1 векторами b1, …, bm и до базиса U2 векторами c1, …, cn. 2
3. Убедиться, что система (a1, …, ak, b1, …, bm, c1, …, cn) является базисом в U1 + U2. 2