Метод интегрирования по частям позволяет вычислять интегралы, которые не поддаются простым методам, таким как использование замены переменной, табличных интегралов и свойства линейности. 5

Суть метода заключается в том, что подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух множителей: функции u(x) и дифференциала функции dv. 14 При этом по виду функции dv легко можно восстановить функцию u, а вычисление интеграла от функции dv оказывается более простой задачей, чем вычисление интеграла от функции u. 4

Алгоритм вычисления неопределённых интегралов по частям: 2

1. Осмотреть подынтегральную функцию и определить, к какой группе относится данный интеграл. 2
2. Разбить подынтегральное выражение на две части (u и dv) согласно правилу для данной группы. 2
3. Дифференцировать функцию u и посчитать дифференциал du. 2
4. Интегрировать дифференциал dv и найти функцию v. 2
5. Подставить исходные данные (u, du, v, dv) в формулу интегрирования по частям. 2
6. Выполнить вычисления по формуле, взять новый, более простой, интеграл, подставить результат, упростить (если нужно) и записать окончательный ответ. 2

Метод интегрирования по частям применим не во всех случаях, но с его помощью можно вычислить довольно большой класс интегралов. 5