В чём заключается метод характеристик для решения дифференциальных уравнений в частных производных?

Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org Он позволяет свести уравнение в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые затем можно решить стандартными методами. sky.pro

Принцип метода заключается в нахождении характеристик — кривых, вдоль которых уравнение в частных производных сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. vc.ru

Основные шаги для применения метода характеристик: vc.ru

1. Формулирование уравнения. vc.ru Например, нужно решить уравнение типа ut + a(u) ux = 0, где ut и ux — частные производные по времени и пространству соответственно, а a(u) — скорость, зависящая от решения. vc.ru
2. Определение характеристик. vc.ru Нужно выделить уравнения характеристик, которые имеют вид: dx/dt = a(u)du/dt = 0. vc.ru Это означает, что вдоль характеристик значение u остаётся постоянным. vc.ru
3. Решение системы уравнений. vc.ru Нужно решить систему уравнений для нахождения траекторий характеристик. vc.ru Выражая u через параметр t, можно найти его значение вдоль каждой характеристики. vc.ru
4. Получение общего решения. vc.ru Нужно собрать все найденные значения u на характеристиках и записать общее решение задачи. vc.ru

Обычно метод характеристик применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть использован и для гиперболических уравнений более высокого порядка. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org