В чём заключается метод доказательства теоремы Больцано-Коши?

Метод доказательства теоремы Больцано-Коши заключается в последовательном делении отрезка пополам. chem.msu.ru ib.mazurok.com

Алгоритм: chem.msu.ru

1. Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков. chem.msu.ru Для определённости, например, f(a) < 0, а f(b) > 0. chem.msu.ru
2. Обозначают a1 = a, b1 = b и рассматривают точку (a1 + b1) / 2 = c1. chem.msu.ru Если f(c1) = 0, то теорема верна при c = c1. chem.msu.ru
3. Если f(c1) ≠ 0, то либо f(c1) > 0 и в этом случае кладут a2 = a1, b2 = c1, либо f(c1) < 0 и в этом случае кладут a2 = c1, b2 = b. chem.msu.ru
4. В обоих случаях получают отрезок [a2; b2], длина которого равна половине длины отрезка [a1; b1], и на концах которого функция принимает значения разных знаков. chem.msu.ru
5. Разделяют этот отрезок пополам точкой (a2 + b2) / 2 = c2. chem.msu.ru Если f(c2) = 0, то теорема верна при c = c2. chem.msu.ru
6. Если f(c2) ≠ 0, то либо f(c2) > 0 и в этом случае кладут a3 = a2, b3 = c2, либо f(c2) < 0 и в этом случае кладут a3 = c2, b3 = b2. chem.msu.ru
7. Продолжают процесс деления отрезков пополам. chem.msu.ru

Возможны два случая: chem.msu.ru

• На каком-то шаге получают (an + bn) / 2 = cn, и f(cn) = 0. chem.msu.ru Тогда теорема справедлива. chem.msu.ru
• Для всех n выполняются неравенства f(an) < 0, f(bn) > 0. chem.msu.ru Тогда получается бесконечная система стягивающихся отрезков. chem.msu.ru

По построению каждый следующий отрезок вложен в предыдущий, а длина отрезка [an, bn], равная (b - a) / 2n, стремится к нулю при n → ∞. chem.msu.ru Эти отрезки имеют общую точку, которую обозначают c. chem.msu.ru Нужно доказать, что f(c) = 0. chem.msu.ru