Метод доказательства теоремы Больцано-Коши заключается в последовательном делении отрезка пополам. 15

Алгоритм: 1

1. Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков. 1 Для определённости, например, f(a) < 0, а f(b) > 0. 1
2. Обозначают a1 = a, b1 = b и рассматривают точку (a1 + b1) / 2 = c1. 1 Если f(c1) = 0, то теорема верна при c = c1. 1
3. Если f(c1) ≠ 0, то либо f(c1) > 0 и в этом случае кладут a2 = a1, b2 = c1, либо f(c1) < 0 и в этом случае кладут a2 = c1, b2 = b. 1
4. В обоих случаях получают отрезок [a2; b2], длина которого равна половине длины отрезка [a1; b1], и на концах которого функция принимает значения разных знаков. 1
5. Разделяют этот отрезок пополам точкой (a2 + b2) / 2 = c2. 1 Если f(c2) = 0, то теорема верна при c = c2. 1
6. Если f(c2) ≠ 0, то либо f(c2) > 0 и в этом случае кладут a3 = a2, b3 = c2, либо f(c2) < 0 и в этом случае кладут a3 = c2, b3 = b2. 1
7. Продолжают процесс деления отрезков пополам. 1

Возможны два случая: 1

• На каком-то шаге получают (an + bn) / 2 = cn, и f(cn) = 0. 1 Тогда теорема справедлива. 1
• Для всех n выполняются неравенства f(an) < 0, f(bn) > 0. 1 Тогда получается бесконечная система стягивающихся отрезков. 1

По построению каждый следующий отрезок вложен в предыдущий, а длина отрезка [an, bn], равная (b - a) / 2n, стремится к нулю при n → ∞. 1 Эти отрезки имеют общую точку, которую обозначают c. 1 Нужно доказать, что f(c) = 0. 1