Некоторые методы доказательства сходимости последовательностей:

1. Метод предела. 1 Если найти предел последовательности и показать, что он существует и конечен, то это свидетельствует о сходимости. 1 Например, если предел последовательности стремится к нулю, то это говорит о её сходимости. 1
2. Метод ограниченности. 1 Если показать, что последовательность ограничена сверху или снизу, то это может указывать на её сходимость. 1 Например, если последовательность не превышает некоторую константу при всех значениях, то она, скорее всего, сходится. 1
3. Метод монотонности. 1 Если последовательность монотонна (например, возрастает или убывает) и ограничена, то она сходится. 1 Можно использовать методы математической индукции или доказательства по определению монотонности для проверки этого свойства. 1
4. Метод сравнения. 1 Если найти другую последовательность, сходящуюся или расходящуюся, и показать, что исследуемая последовательность ведёт себя подобным образом, то можно сделать вывод о сходимости или расходимости. 1 Например, если исследуемый ряд неотрицательных чисел больше, чем сходящийся ряд, то он будет расходиться. 1
5. Метод Коши (критерий Коши). 13 Если показать, что разность между членами последовательности может быть сделана произвольно малой (с точностью до некоторого положительного числа), то это говорит о сходимости. 1 Это требует более технических доказательств и может быть применимо для некоторых последовательностей. 1

Конкретный выбор метода доказательства сходимости зависит от характеристик исследуемой последовательности. 1