В чем заключается геометрическое доказательство формулы Пика?

Геометрическое доказательство формулы Пика заключается в последовательном доказательстве её верности для различных фигур, начиная с простых и заканчивая произвольными многоугольниками. science-start.ru nsportal.ru

Некоторые этапы доказательства:

1. Единичный квадрат. science-start.ru nsportal.ru Для него Г = 4, В = 0, следовательно, S = 4 : 2 + 0 - 1, значит, формула Пика верна для квадрата 1х1. nsportal.ru
2. Прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. science-start.ru Пусть a и b — длины сторон прямоугольника. science-start.ru Тогда S = ab, В = (a-1) (b-1), Г = 2(a+b). science-start.ru Подстановка показывает, что формула Пика верна. science-start.ru
3. Прямоугольный треугольник с катетами, которые параллельны осям координат. science-start.ru Любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. science-start.ru Обозначив через с число целых точек, лежащих на диагонали, можно показать, что формула Пика выполняется для такого треугольника. science-start.ru
4. Любой треугольник. science-start.ru Такой треугольник можно превратить в прямоугольник, приклеив к его сторонам прямоугольные треугольники с катетами, параллельными осям координат (надо не более 3 таких треугольников). science-start.ru Отсюда получаем корректность формулы Пика для любого треугольника. science-start.ru
5. Произвольный многоугольник. science-start.ru Для доказательства нужно разбить его на треугольники с вершинами в целых точках. science-start.ru Для одного треугольника формула Пика доказана. science-start.ru Можно доказать, что при добавлении к многоугольнику треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. science-start.ru Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника. science-start.ru

Формула Пика применима только для фигур, которые нарисованы на клетчатой бумаге и вершины лежат на узлах клеток. science-start.ru