Доказательство теоремы о параллельных прямых заключается в следующем: 2

1. Рассматривают параллельные прямые a и b в пространстве. 2 Из определения параллельных прямых следует, что они лежат в одной плоскости. 2
2. На прямой a отмечают точки A и B, на прямой b — точку C. 2 Точки A, B, C не лежат на одной прямой. 2
3. По аксиоме трёх точек через точки A, B, C проходит плоскость, и притом только одна. 2 Обозначают эту плоскость α. 2
4. Доказывают, что это та самая плоскость, в которой лежат прямые a и b. 2 Предположим, что это не так, и есть ещё одна плоскость β, которой также принадлежат прямые a и b. 2
5. Точки A, B, C не лежат на одной прямой. 2 По аксиоме о трёх точках они определяют плоскость однозначно. 2 И уже обозначена эта плоскость α. 2 Следовательно, плоскости α и β — это на самом деле одна и та же плоскость. 2

Таким образом, через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну. 24