Доказательство теоремы о единственности предела числовой последовательности заключается в следующем: 25

1. Допустим противное. 5 Пусть у последовательности существует два различных предела: a и b, причём a не равно b. 5
2. Возьмём какие-либо непересекающиеся окрестности U = U(а) и V = V(b) точек а и b. 5 Согласно определению предела вне окрестности U точки а, в частности в окрестности V точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности {xn}. 5
3. Однако точка b также является её пределом, и потому в её окрестности V должны находиться все члены последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много её членов. 5
4. Получается противоречие. 5 Значит, такое невозможно, и последовательность может иметь не более одного предела. 3