Доказательство теоремы о центре окружности, описанной около треугольника, заключается в следующем: 25

1. Рассматривают произвольный треугольник ABC. 2 Проводят серединные перпендикуляры к его сторонам, которые пересекутся в точке O (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). 2
2. Соединяют точку O с точками A, B и C. 2 Точка O равноудалена от вершин ABC (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому OA = OB = OC. 2
3. Строят окружность с центром в точке O и радиусом OC. 4 Так как точка O равноудалена от вершин треугольника, то построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около ABC. 4
4. Доказывают методом от противного, что такая окружность единственна. 5 Допустим, что около треугольника можно описать ещё одну окружность, отличную от построенной. 5 Тогда центр этой окружности равноудален от вершин треугольника и потому совпадает с O — точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 5 Радиус этой окружности равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. 5 Значит, эта окружность совпадает с построенной. 5

Таким образом, центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. 5 Теорема доказана. 5