Разница между выражениями «в течение часа» и «в течении часа» заключается в их значении и написании:

1. «В течение часа» — это предлог, который обозначает временной промежуток, в данном случае — час. 14 К нему обязательно присоединяется существительное в родительном падеже — в течение (чего?) часа. 1
2. «В течении часа» — это сочетание предлога с существительным «течение», которое обозначает движение, поток времени, в данном случае — час. 14

Таким образом, «в течение» указывает на временной отрезок, а «в течении» — на движение в определённом промежутке времени, в данном случае — час.

Выбор между этими выражениями зависит от контекста предложения.