В чем разница между умственным и письменным делением чисел?

Возможно, имелись в виду различия между устным и письменным делением чисел.

Устное деление выполняется мысленно, без записи чисел или с записью выражений и результата в строчку. 1 Вычисления начинаются с единиц высшего разряда и могут быть доведены до уровня навыка. 1

Письменное деление предполагает запись как результата действия, так и промежуточных операций. 1 Обычно имеет форму записи «в столбик». 14 Вычисления выполняются по установленным правилам (алгоритмам) и начинаются с единиц меньшего разряда (кроме деления). 1

Таким образом, разница заключается в способе выполнения: устное деление происходит в уме, а письменное — с использованием записей.

При этом есть исключение: деление в столбик относят к полуписьменным вычислениям, так как оно обладает признаками и устных, и письменных вычислений: начинается с единиц старшего разряда, а запись осуществляется в столбик. 1