Разница между союзным словом whether и модальным глаголом wonder заключается в их значении и употреблении:
  - Союзное слово whether используется для выражения косвенных вопросов yes/no, например: Do you know whether the game has started yet? (Вы знаете, игра уже началась?).                                                                          upupenglish.ru                      
- Модальный глагол wonder означает «задаваться вопросом, спрашивать себя» и используется, когда хочется сказать, что что-то узнать.                                                                          langformula.ru                       Например: I wonder where my car is? (Мне интересно, где моя машина?).                                                                          enjoyenglish-blog.com                      
Таким образом, союзное слово whether используется для выражения косвенных вопросов, в то время как модальный глагол wonder показывает интерес и желание узнать что-то.                                                                          langformula.ru                                                                                               upupenglish.ru