В чем разница между преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа?

Некоторые различия между преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа:

• Область преобразования: преобразование Фурье преобразует функцию временной области в функцию частотной области, а преобразование Лапласа — функцию временной области в функцию s-области. 1
• Область применимости: преобразование Фурье определено только для функций, которые определены для всех действительных чисел. 1 Преобразование Лапласа не требует, чтобы функция была определена для набора отрицательных действительных чисел. 1
• Использование для анализа систем: преобразование Лапласа может быть использовано для анализа нестабильных систем, в то время как преобразование Фурье нельзя применять для анализа таких систем. 1
• Представление функции: преобразование Лапласа функции можно представить в виде непрерывной суммы комплексных экспоненциальных затухающих волн, а преобразование Фурье — в виде непрерывной суммы экспоненциальных функций. 1
• Применение для решения дифференциальных уравнений: преобразование Лапласа широко используется для решения дифференциальных уравнений, поскольку существует даже для сигналов, для которых не существует преобразования Фурье. 1 Преобразование Фурье редко применяется для решения таких уравнений, так как для многих сигналов его не существует. 1
• Коэффициент сходимости: преобразование Лапласа имеет коэффициент сходимости и, следовательно, является более общим, в то время как преобразование Фурье не имеет никакого коэффициента сходимости. 1

Преобразования Лапласа и Фурье тесно связаны, и преобразование Лапласа можно рассматривать как обобщение преобразования Фурье. 4