Разница между «по-разному» и «по разному» в современном языке заключается в том, к какой части речи относится каждое из этих слов. 1

«По-разному» — наречие, образованное от однокоренного прилагательного. 1 Оно зависит от глагола-сказуемого, отвечает на вопрос «как?» или «каким образом?». 4 Например: «Этот пример можно решать по-разному». 1

«По разному» — прилагательное «разный» в падежной форме существительного с предлогом «по». 1 Оно отвечает на вопрос «по какому?» и поясняет существительное в контексте, например: «По разному узору можно определить разные характеристики изделия». 1

Таким образом, выбор между этими вариантами зависит от того, какой смысл нужно передать в предложении.