Разница между словами «помеха» и «препятствие» в русском языке заключается в их значениях:

• Помеха — это то, что мешает кому-либо или чему-либо; затруднение. 4 По смыслу ближе к слову «трудность». 1
• Препятствие — это предмет, заграждающий путь, задерживающий чьё-либо передвижение, не дающий кому-либо или чему-либо пройти, проехать. 2 Также это обстоятельство, явление, мешающие совершению, осуществлению чего-либо. 2

Таким образом, препятствие — это серьёзное обстоятельство, а помеха — то, что легко преодолеть. 1

Кроме того, «помеха» употребляется больше с отрицательной коннотацией, как нечто несправедливо мешающее, что-то, что следует устранить. 1