Разница между «neither» и «not either» при отрицании предложений заключается в их значении:

• «Neither» несёт в себе отрицательное значение и не требует никаких отрицательных частиц или форм, в отличие от «either». 4 Например: «Neither of us wanted to go there» — «Никто из нас не хотел туда идти». 2
• «Not either» позволяет передать значение «также нет» обычным порядком слов. 1 В этом случае с not слова also, as well, too в значении «тоже» не используются. 1 Например: «She doesn’t like horror movies. Her brother doesn’t like them either» — «Ей не нравятся фильмы ужасов. Её брат тоже их не любит». 1