В чем разница между наречиями 'потихоньку' и 'по-тихому'?

Возможно, имелись в виду значения наречий «потихоньку» и «по-тихому».

Наречие «потихоньку» означает, например:

• делать что-то медленно, не торопясь: «потихоньку пить, есть, жевать»; sanstv.ru
• делать что-то тихо, бесшумно, про себя: «потихоньку напевать, насвистывать какую-то мелодию»; sanstv.ru
• делать что-либо незаметно, тайно, украдкой: «потихоньку уйти из дома»; sanstv.ru
• процесс, событие или явление происходят постепенно, не сразу: «зрение, слух потихоньку восстанавливается». sanstv.ru

Наречие «по-тихому» имеет значение «тайно». dic.academic.ru

Таким образом, разница между «потихоньку» и «по-тихому» в том, что первое наречие может обозначать разные действия и ситуации, а второе — конкретное значение.