Разница между наибольшим и наименьшим значением функции на открытом и замкнутом интервалах заключается в том, что для открытого интервала не учитываются конечные точки, а для замкнутого они учитываются, так как замкнутый интервал включает свои конечные точки. 2

На открытом интервале рассматриваются значения функции в окрестностях конечных точек, но не в них самих. 1 На замкнутом интервале функция должна достигать своих верхней и нижней границ в интервале, так как замкнутый интервал — это компактное множество, которое имеет верхнюю и нижнюю границы. 2

Таким образом, для открытого интервала изображение функции не обязательно должно быть ограничено, в то время как на замкнутом интервале функция должна достигать своих границ. 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на открытом или бесконечном интервале необходимо учитывать производную функции и вычислять пределы в крайних точках. 1 На замкнутом интервале достаточно найти все максимальные и минимальные значения функции в интервале, вычислить значения этой функции на концах интервала и выбрать наибольшее и наименьшее значения среди найденных. 5