Разница между модальными глаголами should и ought to заключается в следующем:

• Should более мягкий по сравнению с ought to. 3 С его помощью выражаются просьбы, предположения, инструкции и т. п.. 3 Как правило, он воспринимается как не обязательная (а желательная) рекомендация к исполнению. 3
• Ought to более категоричный глагол, с помощью которого выражают более настоятельные советы. 3 Он используется, когда необходимо сделать что-то в силу правил или моральных норм. 1

Ещё одно различие заключается в том, что после ought всегда ставится инфинитив с частицей to, а после should — только Bare Infinitive. 1