В чем разница между методом деления на область допустимых значений и методом введения новой переменной?

Возможно, имелись в виду различия между методом использования области допустимых значений (ОДЗ) и методом введения новой переменной.

Метод использования области допустимых значений помогает доказать, что у уравнения нет решений, а также найти решения для уравнения при помощи постановки чисел из ОДЗ. wika.tutoronline.ru Если обе части неравенства определяются на множестве, которое состоит из одного или нескольких чисел, то можно просто проверить, является ли каждое из этих чисел решением для неравенства. wika.tutoronline.ru

Метод введения новой переменной используют, чтобы упростить решение уравнения. umschool.net Суть метода в том, чтобы принять повторяющееся выражение за новую переменную и решить относительно неё, а после сделать обратную замену (то есть новую переменную опять представить в виде повторяющегося выражения). umschool.net При этом значение введённой переменной не равно значению изначальной переменной. umschool.net

Таким образом, разница между методами заключается в подходах к решению уравнений: первый метод ориентирован на поиск решений с учётом ограничений, а второй — на упрощение решения за счёт замены части уравнения на новую переменную.