В чем разница между методами нахождения интервалов возрастания и убывания с помощью первой и второй производной?

Возможно, имелись в виду различия между методами нахождения интервалов возрастания и убывания функции с помощью первой и второй производной.

С помощью первой производной можно найти интервалы возрастания и убывания функции, для этого нужно решить неравенства f′(x) > 0 (возрастание) и f′(x) < 0 (убывание). blog.tutoronline.ru При этом необходимо знать область определения функции, найти точки разрыва и определить критические точки первого рода. kvm.gubkin.ru

С помощью второй производной можно определить интервалы выпуклости (вверх и вниз), а также точки перегиба. kvm.gubkin.ru blog.tutoronline.ru Для этого нужно решить неравенства f′′(x) > 0 (выпуклость вверх) и f′′(x) < 0 (выпуклость вниз). blog.tutoronline.ru При этом также необходимо найти точки перегиба, в которых f′′(x) = 0 или f′′(x) не существует, и проверить изменение знака f′′(x). blog.tutoronline.ru

Таким образом, первая производная помогает определить интервалы монотонности функции, а вторая — интервалы выпуклости и точки перегиба.