В чем разница между механическим и аналитическим способами определения касательной?

Возможно, имелись в виду различия между механическим и аналитическим способами определения касательной к кривым линиям.

Механический способ предполагает использование циркуля и линейки, с помощью которых можно построить касательную к окружности в заданной точке. yunc.org Также в Древней Греции умели строить касательные ко всем коническим сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам. yunc.org

Аналитический способ связан с применением методов математического анализа, в частности с вычислением производных функций. en.wikipedia.org Уравнения касательных к графикам различных функций, в том числе степенной, тригонометрической, экспоненциальной и других, можно найти с помощью аналитических методов. en.wikipedia.org

Таким образом, разница заключается в том, что механический способ основан на геометрических инструментах, а аналитический — на использовании математических методов и производных функций.