В чем разница между конечномерными и бесконечномерными нормированными пространствами?

Разница между конечномерными и бесконечномерными нормированными пространствами заключается в следующих особенностях:

• В конечномерном пространстве все нетривиальные нормы эквивалентны, и все метрики, связанные с этими нормами, являются полными. 3 В бесконечномерном пространстве выбор нормы гораздо более важен, поскольку результирующие показатели не обязательно должны быть полными и могут иметь очень разные завершения. 3
• В конечномерном пространстве всякое линейное подпространство автоматически является замкнутым. 2 В бесконечномерном случае это не всегда так. 2
• В конечномерном пространстве все линейные функционалы ограничены, а в бесконечномерном случае это не так. 1
• В конечномерном пространстве у него только одна хаусдорфова топология, что делает его топологическим векторным пространством (сложение векторов и скалярное умножение непрерывны). 3 Бесконечномерные векторные пространства могут иметь множество различных топологий, поскольку они могут иметь неэквивалентные нормы. 3