В чем разница между классической и современной системой определения векторного произведения?

Возможно, имелись в виду различия между геометрическим и алгебраическим определениями векторного произведения. ru.wikipedia.org

Геометрическое определение само задаёт ориентацию пространства. ru.wikipedia.org Векторное произведение вектора a на вектор b — это вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтобы наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c. skysmart.ru www.calc.ru

Алгебраическое определение не задаёт ориентацию пространства, а использует уже заданную — ту, на основании которой данная система координат считается правой или левой. ru.wikipedia.org Алгебраическое определение задаёт способ разбить тройки некомпланарных векторов на два класса одинаково ориентированных векторов. ru.wikipedia.org

При этом, по информации сайта skysmart.ru, геометрическое и алгебраическое определения векторного произведения эквивалентны. skysmart.ru