Разница между использованием neither и not any заключается в значении и контексте употребления:

• Neither употребляется, когда речь идёт о двух предметах или людях и несёт значение «ни один из двух». 24 Например: «Neither of us has any experience in this field» (Ни один из нас не имеет опыта в этой области). 4
• Not any используется для общего отрицания и означает «не любое». 14 Например: «There aren’t any girls» (Нет никаких девушек). 1

Таким образом, neither указывает на то, что оба варианта неподходящие, а not any — на отсутствие любого из чего-либо. 34