В чем разница между интегрированием непрерывных и разрывных функций?

Разница между интегрированием непрерывных и разрывных функций заключается в том, что каждая непрерывная функция интегрируема, а некоторые разрывные функции интегрируемы, а другие — нет. math.stackexchange.com

Например, если функция определена и непрерывна на отрезке [a;b], а в точке x = b либо не определена, либо имеет разрыв, то такой интеграл называют несобственным интегралом второго рода. eor.dgu.ru Сходимость или расходимость такого интеграла зависит от существования или не существования конечного предела. eor.dgu.ru

При этом существует теорема, которая гласит, что функция интегрируема тогда и только тогда, когда множество прерывистых точек имеет «нулевую меру», что означает, что они могут быть покрыты набором интервалов сколь угодно малой общей длины. math.stackexchange.com