Разница между выражениями «говорить на русском» и «говорить по-русски» заключается в их значении:

• «Говорить на русском» — это предложное сочетание, которое подчёркивает использование русского языка как средства коммуникации. 5 Оно указывает на то, что действие совершается с использованием именно русского языка, а не какого-то другого. 5
• «Говорить по-русски» — это наречие, описывающее способ действия, манеру или стиль. 5 Оно может обозначать не только русский язык, но и русскую манеру речи. 3

Таким образом, «по-русски» — это про способ, манеру, стиль, «как?», а «на русском языке» — это про сам язык, как инструмент, «на чём?». 5