Разница между глаголами «гнаться» и «преследовать» заключается в значениях.
Гнаться означает идти, бежать за кем-либо или за чем-либо, стараясь догнать, преследовать с целью настичь кого-либо или что-либо. dic.academic.ru ru.wiktionary.org Также в переносном значении «гнаться» может означать стремиться к чему-либо, добиваться чего-либо или пытаться сравняться с кем-либо, чем-либо. ru.wiktionary.org kartaslov.ru
Преследовать имеет несколько значений, среди которых: