Разница между фразовыми глаголами «to be busy» и «to be engaged» заключается в следующем:

• To be busy описывает состояние, когда у человека много задач или обязанностей, требующих внимания. 4 Это может приводить к чувству перегруженности или спешки. 4
• To be engaged указывает на более глубокое и сосредоточенное участие в конкретной задаче или деятельности. 4 Человек фокусируется на определённой задаче и уделяет ей всё внимание. 1

Таким образом, если нужно передать, что у человека много дел, то подойдёт «to be busy». 1 Если же нужно сообщить, что человек активно работает над конкретной целью, то лучше выбрать «to be engaged». 1

Выбор между этими фразовыми глаголами зависит от контекста.