Разница между формами «провести» и устаревшим «провесть» заключается в их употреблении и значении:

• «Провести» — современная форма глагола, которая имеет несколько значений, например: организация или выполнение какого-либо процесса, перемещение чего-либо или кого-либо по определённому пути, времяпрепровождение, обеспечение чего-либо. 3
• «Провесть» — устаревшая форма, которая была употребительна в литературном языке XIX века, например, у А. Пушкина: «Ужели ей Остаток горьких юных дней Провесть наложницей презренной?» (Бахчисарайский фонтан). 1

Таким образом, «провести» используется в современном языке для описания различных действий, в то время как «провесть» — устаревшая форма, использовавшаяся в определённом историческом контексте.