Разница между формами «отмучиться» и «отмучаться» в современном русском языке заключается в нескольких аспектах: 1

• Морфемное отличие — разные суффиксы инфинитивов: «отмучаться» — -А-, «отмучиться» — -И-. 1
• Морфологическое отличие — «отмучаться» — 1-е спряжение, «отмучиться» — 2-е спряжение. 1
• Лексическое отличие — «отмучаться» — просторечное слово, «отмучиться» — разговорное. 1

При этом значения у глаголов одинаковые: «перестать, кончить мучиться». 23