В чем разница между элементарными и специальными функциями?

Разница между элементарными и специальными функциями заключается в их сложности и области применения.

Элементарные функции — простейшие, отличаются простотой и широкой областью применения. math.tusur.ru Они составляют базу для изучения более сложных функций, являясь в большинстве своём составными элементами последних. math.tusur.ru К элементарным функциям относятся основные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и суперпозиций. math.tusur.ru

Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. ru.wikipedia.org dic.academic.ru Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов. ru.wikipedia.org Они возникают обычно в задачах, которые не решаются с помощью элементарных функций. ru.wikipedia.org

Примеры элементарных функций: алгебраические (целая рациональная, дробно-рациональная, иррациональная) и трансцендентные (показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические). math.tusur.ru

Примеры специальных функций: бета-функция, гамма-функция, интегральный логарифм, интегральная экспонента, интеграл вероятности, сферические функции и другие. ru.wikipedia.org dic.academic.ru