Разница между элементарными и специальными функциями заключается в их сложности и области применения.

Элементарные функции — простейшие, отличаются простотой и широкой областью применения. 4 Они составляют базу для изучения более сложных функций, являясь в большинстве своём составными элементами последних. 4 К элементарным функциям относятся основные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и суперпозиций. 4

Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. 12 Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов. 1 Они возникают обычно в задачах, которые не решаются с помощью элементарных функций. 1

Примеры элементарных функций: алгебраические (целая рациональная, дробно-рациональная, иррациональная) и трансцендентные (показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические). 4

Примеры специальных функций: бета-функция, гамма-функция, интегральный логарифм, интегральная экспонента, интеграл вероятности, сферические функции и другие. 12