В чем разница между автоматической и ручной проверкой дифференцирования?

Возможно, имелись в виду различия между автоматическим и численным дифференцированием. stepanzh.github.io

Численное дифференцирование приближает производную на основе её определения. stepanzh.github.io При таком способе производная вычисляется как разность двух близких по величине значений функции. www.reallab.ru Из-за погрешностей метода и округления результат может быть не точным. stepanzh.github.io

Автоматическое дифференцирование — способ вычисления производных функции, заданной программно. stepanzh.github.io При таком подходе не нужно вводить шаг, а производная вычисляется точно (в пределах машинной арифметики). stepanzh.github.io

Таким образом, разница между автоматической и ручной проверкой дифференцирования заключается в том, что при автоматическом способе процесс автоматизирован и выполняется с помощью специальных программ, а при численном — производная вычисляется приближённо.