В чем разница между аналитическими и алгебраическими функциями?

Разница между аналитическими и алгебраическими функциями заключается в их свойствах и способах задания:

• Аналитические функции охватывают большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и её приложений к естествознанию и технике. dic.academic.ru Они замкнуты относительно основных операций арифметики, алгебры и анализа и обладают свойством единственности: каждая аналитическая функция образует одно «органически связанное целое» во всей своей естественной области существования. dic.academic.ru bigenc.ru
• Алгебраические функции задаются с помощью формул и дают возможность по каждому численному значению аргумента найти соответствующее ему численное значение функции точно или с некоторой точностью. ru.wikipedia.org

Таким образом, основное отличие в том, что аналитические функции задаются с помощью формул и позволяют применять к ним аппарат математического анализа, а алгебраические функции задаются таким способом и дают точные значения для заданных аргументов.