Отличие фразовых глаголов put up и put aside заключается в их значениях:

• Put up означает возводить, строить, устанавливать вертикально. 12 Часто используется, когда говорят о строениях: домах, стенах, башнях, когда что-либо растёт в высоту. 1
• Put aside означает откладывать что-либо, как правило, для будущего использования, а также экономить что-либо, например, деньги или время. 2 Используется, когда нужно временно прекратить заниматься чем-либо или сохранить что-то на будущее. 3

Таким образом, put up описывает действие по возведению или установке чего-либо, в то время как put aside — по откладыванию и экономии чего-либо.