Особенности использования непрерывных и разрывных функций в математике заключаются в описании различий между плавными и скачкообразными изменениями величин. 4

Непрерывные функции подразумевают, что небольшие изменения на входе функции приводят к небольшим изменениям на выходе, делая функцию предсказуемой и плавной. 1 Такие функции моделируют процессы, в которых нет резких изменений, что облегчает их анализ и работу с ними. 1

Некоторые свойства непрерывных функций:

• Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. 3
• Функция, непрерывная на интервале, принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках. 3
• Если функция непрерывна на интервале, то на этом интервале она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения. 3

Прерывные функции означают, что функция не может быть непрерывной в определённой точке. 1

Некоторые типы разрывов в функциях: скачкообразный разрыв, бесконечный разрыв и устраняемый разрыв. 1

Примеры использования: зависимость объёма воды от температуры: при 0 °C функция имеет разрыв, так как при самом небольшом понижении температуры вода переходит в другое агрегатное состояние — превращается в лёд. 4