Пример замкнутого ограниченного подмножества метрического пространства: множество X — целые числа с метрикой ρ(m, n) = 1, за исключением того, что ρ(n, n) = 0. 1 Это множество замкнут и ограниченно, потому что каждая точка находится на расстоянии 1 от некоторой точки x0 (подойдёт любая). 1

Пример точки, расстояние от которой до этого множества не достигается: пространство равномерных функций C([0, 1]) с нормой f = max |f(x)|. 3 Его линейное подпространство L = f ∈ C([0, 1]) : (2x + 1)f(x)dx = 0 будет замкнутым, и для ∀ g ∈/ L существует h ∈ L такое, что dist(g, L) = g = h. 3