Замкнутые множества играют важную роль в топологии, потому что их свойства могут быть положены в основу определения топологического пространства в качестве аксиом. 4

Некоторые свойства замкнутых множеств:

• Пересечение любой системы замкнутых множеств есть замкнутое множество. 2
• Объединение двух замкнутых множеств есть замкнутое множество. 2
• Всё пространство замкнуто. 24
• Пустое множество замкнуто. 24

Если фиксировать семейство подмножеств некоторого множества X, удовлетворяющее этим свойствам, и объявить их замкнутыми подмножествами в X, а дополнения до них — открытыми, то так определённая система открытых подмножеств будет удовлетворять аксиомам открытых множеств и, следовательно, задаст некоторую топологию на X. 1