Почему замкнутые множества играют важную роль в топологии?

Замкнутые множества играют важную роль в топологии, потому что их свойства могут быть положены в основу определения топологического пространства в качестве аксиом. bigenc.ru

Некоторые свойства замкнутых множеств:

• Пересечение любой системы замкнутых множеств есть замкнутое множество. sgpi.ru
• Объединение двух замкнутых множеств есть замкнутое множество. sgpi.ru
• Всё пространство замкнуто. sgpi.ru bigenc.ru
• Пустое множество замкнуто. sgpi.ru bigenc.ru

Если фиксировать семейство подмножеств некоторого множества X, удовлетворяющее этим свойствам, и объявить их замкнутыми подмножествами в X, а дополнения до них — открытыми, то так определённая система открытых подмножеств будет удовлетворять аксиомам открытых множеств и, следовательно, задаст некоторую топологию на X. dfgm.math.msu.su