Почему задача о трисекции угла считается неразрешимой с помощью циркуля и линейки?

Задача о трисекции угла считается неразрешимой с помощью циркуля и линейки из-за невозможности решения кубического уравнения. 14

С помощью циркуля и линейки можно построить только числа — квадратичные иррациональности, которые выражаются через целые числа при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления и вычисления квадратного корня. 1 А корень кубического уравнения является квадратичной иррациональностью только в том случае, если уравнение имеет целый корень. 1

Например, если взять угол в 60 градусов, то получится кубическое уравнение с тремя действительными корнями. 4 Однако эти три действительных корня не выражаются через квадратные радикалы, как того требует любая задача о построении циркулем и линейкой, а значит, задача неразрешима. 4

Доказательство принципиальной неразрешимости задачи о трисекции угла с помощью циркуля и линейки было представлено французским математиком Пьером Ванцелем в 1837 году. 45