Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, потому что его градусная мера равна половине градусной меры этой дуги. 13

Это следует из теоремы о вписанном угле, которая доказана путём рассмотрения нескольких случаев: 2

1. Случай 1: точка О принадлежит лучу АС. 2 Обозначим угол через α, тогда угол также будет равен α, так как треугольник равнобедренный, его стороны ОВ и ОА равны как радиусы окружности. 2 Угол является внешним для треугольника, внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним, получаем: α = ½ дуги АС. 2
2. Случай 2: точка О лежит внутри вписанного угла. 2 Доказательство сводится к предыдущему случаю. 2 Проведём диаметр AD, обозначим угол за α, тогда дуга будет равна (объяснение см. случай 1). Угол обозначим за β, тогда дуга будет равна (объяснение см. случай 1). Вся дуга равна: α = β, угол в свою очередь, равен α. 2
3. Случай 3: точка О находится вне вписанного угла. 2 Доказательство снова сводится к первому случаю. 2 Проведём диаметр AD, обозначим угол через α, тогда дуга будет (объяснение см. случай 1). Угол обозначим через β, тогда дуга будет равна (объяснение см. случай 1). Дуга является разностью большой дуги и дуги: α = β, вписанный угол равен α. 2

Таким образом, теорема полностью доказана, все случаи рассмотрены. 2