Почему важно различать теорему Вейерштрасса для непрерывных и полунепрерывных функций?

Различие между теоремой Вейерштрасса для непрерывных и полунепрерывных функций важно, потому что формулировки и доказательства этих теорем отличаются. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций гласит, что если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нём и достигает своих минимального и максимального значений. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций утверждает, что если функция ограничена и полунепрерывна сверху, то её точная верхняя грань конечна и достигается в определённой точке, а для полунепрерывных снизу — что точная нижняя грань также конечна и достигается в другой точке. ru.ruwiki.ru

Таким образом, для разных типов функций теорема Вейерштрасса утверждает различные свойства: для непрерывных функций — ограниченность и достижимость минимального и максимального значений, а для полунепрерывных — конечность и достижимость точной верхней и нижней граней. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org