Определение топологии в функциональных пространствах важно по следующим причинам:

• Возможность устанавливать ограничения. 1 Это нужно, чтобы оставаться в том же классе функций. 1
• Обеспечение аппроксимации и сходимости. 1 Топология и непрерывность обеспечивают эти процессы, что особенно важно при изучении бесконечномерных пространств. 1
• Возможность изучать элементы двойного пространства. 1 Это возможно, если ограничиться непрерывными линейными функционалами. 1
• Помощь в понимании работы Фредгольма по интегральным уравнениям. 1 Понятия компактности в функциональных пространствах предоставили полезное и важное средство для этого. 1

Таким образом, определение топологии позволяет устанавливать связи между различными математическими теориями и способствовать открытию новых математических фактов. 2