Мнимые и комплексные корни в уравнениях возникают благодаря использованию поля комплексных чисел, в котором любые алгебраические уравнения имеют решения. 1

Например, в квадратном уравнении с произвольными комплексными коэффициентами всегда есть два комплексных корня, при этом корни (как действительные, так и с ненулевой мнимой частью) могут совпадать (быть кратными). 4

Также в комплексных числах можно извлекать корень из отрицательного числа, что невозможно в действительных числах. 2 В результате получаются сопряжённые комплексные корни. 2

Таким образом, появление мнимых и комплексных корней связано с использованием комплексных чисел и особенностей работы с ними в контексте уравнений.

Ещё один факт: в квадратном уравнении комплексные или мнимые корни всегда встречаются в сопряжённых парах. 5