Почему в треугольнике радиус вписанной окружности напрямую связан с площадью фигуры?

Радиус вписанной окружности напрямую связан с площадью треугольника, потому что существует формула, по которой площадь треугольника равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной в него окружности. 25

Доказательство этой теоремы следующее: 2

1. Отрезки биссектрис, соединяющие вершины треугольника с центром вписанной окружности, разбивают треугольник на три других треугольника. 2
2. В каждом из них радиус вписанной окружности, проведённый в точку касания, будет являться высотой (поскольку радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). 2
3. Площадь каждого маленького треугольника будет вычисляться так: половина произведения радиуса на соответствующую сторону треугольника. 2
4. Площадь всего треугольника равна сумме площадей маленьких. 2

Таким образом, площадь треугольника можно найти через полупериметр и радиус вписанной окружности, так как сумма площадей получившихся треугольников будет равна площади исходного треугольника. 5