Существование только пяти правильных многогранников в трёхмерном пространстве объясняется геометрическим правилом, согласно которому в каждой вершине должно сходиться не меньше трёх граней. 12

Из этого правила следует, что гранями правильного многогранника могут быть только треугольники, квадраты и пятиугольники. 2

Некоторые примеры, почему не могут существовать многогранники с другими гранями:

• Правильный шестиугольник. 3 В нём углы равны 120°. 3 Если соединить три таких шестиугольника в одной точке, то они будут лежать в одной плоскости и не образуют многогранного угла. 2
• Семиугольник и более крупные многоугольники. 2 У них углы ещё больше. 2

Таким образом, возможные варианты — это треугольники, сходящиеся по 3, 4 и 5, а также квадраты и пятиугольники, сходящиеся по 3. 2 Все эти пять вариантов реализованы в пяти известных правильных многогранниках. 2