Вопросы к Поиску с Алисой
Существование двух форм произношения слова «желчь» (жёлчь) связано с чередованием гласных Е/Ё при смене ударения. www.bolshoyvopros.ru
Форма «жёлчь», вероятно, восходит к старославянской традиции, которая базировалась на фонетических законах русского языка: под ударением происходил переход Э в О (на письме Е в Ё). www.bolshoyvopros.ru
Форма «желчь», по некоторым предположениям, появилась из-за необозначения на письме буквы Ё, что повлияло на фонетическую систему языка и привело к изменению орфоэпической нормы. rus.stackexchange.com e-koncept.ru
Также есть мнение, что на произношение слова «желчь» могло повлиять слово «желчный» в переносном значении: оно стало произноситься через Е в соответствии с написанием и повлияло на исходное слово с прямым значением. rus.stackexchange.com
«Русский орфографический словарь РАН» фиксирует оба варианта: жёлчь и желчь, при этом ни один из них не является неправильным. e-koncept.ru