Почему в современном русском языке существуют различия между разговорным 'к примеру' и нейтральным 'например'?

Возможно, имелись в виду различия между разговорной и нейтральной лексикой.

Причина различий в том, что разговорная лексика ориентирована на неформальное, непринуждённое общение, она отличается большей экспрессивностью, иногда фамильярностью и несколько сниженной стилевой окрашенностью. infourok.ru

Нейтральная лексика, в свою очередь, может использоваться в любой коммуникативной ситуации, поскольку лишена какой-либо экспрессивно-эмоциональной окраски. infourok.ru Она составляет основу словарного состава языка и фактически является эталоном, по отношению к которому определяются все остальные функциональные слои лексики. infourok.ru

При этом чёткую границу между разговорной и нейтральной лексикой провести затруднительно, так как многие просторечные слова со временем повышают свой стилистический статус и переходят в разряд разговорных. gramota.ru cyberleninka.ru

Таким образом, различия между «к примеру» и «например» могут быть связаны с тем, что первое выражение относится к разговорной лексике, ориентированной на определённую сферу общения, а второе — к нейтральной лексике, которая может использоваться в разных контекстах.