Буква «И» сохраняется в слове «пединститут» потому, что это сложносокращённое слово. 15
Правило правописания гласных после приставок не распространяется на написание таких слов: в их составе есть сокращённое первое слово, а второе слово сохраняет в своём корне начальную букву «И». 5