В слове «пединститут» буква «И» сохраняется, потому что это сложносокращённое слово, в котором нет приставки, а корень, начинающийся с «И», остаётся без изменений. 13
Обычно после русских приставок, оканчивающихся на согласную, в корнях пишется не «И», а «Ы». 2 Но есть исключения. 2